부분이 전체를 닮는 도형
프랙탈(fractal)은 1975년 폴란드 태생의 프랑스·미국 수학자 브누아 망델브로가 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 만든 말이에요. 고사리 잎은 작은 잎이 모여 큰 잎 모양을 이루고, 그 작은 잎도 더 작은 잎으로 되어 있어요. 이처럼 부분을 확대하면 전체와 닮은 구조가 계속 나타나는 성질을 자기유사성이라고 해요. 수학적 프랙탈은 단순한 규칙을 무한히 반복해서 만들어요. 선분을 3등분해 가운데에 삼각형 뿔을 세우는 일을 반복한 '코흐 곡선'은 넓이는 유한한 영역 안에 있으면서도 둘레 길이는 무한대가 돼요. 망델브로는 1967년 논문 '영국 해안선의 길이는 얼마인가?'에서 자를 짧게 할수록 해안선이 끝없이 길어진다는 '해안선 역설'로 이 개념을 널리 알렸어요.
프랙탈 차원
선은 1차원, 면은 2차원이지만 프랙탈은 그 사이의 차원을 가질 수 있어요. 도형을 1/s 크기로 줄인 조각 N개로 정확히 나눌 수 있다면 차원 D는 log N / log s로 구해요. 정사각형은 1/3 크기 조각 9개로 나뉘니 log 9 / log 3 = 2예요. 코흐 곡선은 1/3 크기 조각 4개라 약 1.26차원이에요. 차원이 클수록 공간을 더 촘촘하게 채운다는 뜻이에요.
| 도형 | 계산 | 차원 |
|---|---|---|
| 코흐 곡선 | log 4 / log 3 | ≈ 1.262 |
| 시에르핀스키 삼각형 | log 3 / log 2 | ≈ 1.585 |
| 멩거 스펀지 | log 20 / log 3 | ≈ 2.727 |
| 영국 서해안(리처드슨 측정) | 실측 | ≈ 1.25 |
만델브로 집합과 자연·기술 속 프랙탈
복소수 c에 대해 z → z² + c를 반복할 때 값이 무한히 커지지 않는 c들의 모임이 만델브로 집합이에요. 1980년 무렵 컴퓨터로 그 모습이 처음 그려졌고, 경계를 확대할수록 끝없이 새로운 무늬가 나타나 프랙탈의 상징이 되었어요. 혼돈이론의 '이상한 끌개'도 프랙탈 구조를 가져요. 자연에서는 로마네스코 브로콜리, 나뭇가지, 강줄기, 번개, 눈송이, 폐의 기관지와 혈관이 근사적인 프랙탈이에요. 좁은 공간에 넓은 표면적을 담을 수 있어 폐가 약 70m²(테니스장 절반가량)의 표면적을 가슴 속에 넣을 수 있는 거예요. 기술에서는 휴대전화의 소형 프랙탈 안테나, 영화·게임의 산과 구름 같은 지형 생성, 이미지 압축 등에 쓰여요.
자주 묻는 질문
- 프랙탈은 실제로 무한히 반복되나요?
- 수학적 프랙탈은 무한히 반복되지만, 자연의 프랙탈은 원자나 세포 크기 같은 한계에서 멈춰요. 그래서 자연물은 '일정 범위에서 프랙탈에 가깝다'고 표현해요.
- 프랙탈 차원이 1.26이라는 건 무슨 뜻인가요?
- 선(1차원)보다는 공간을 더 많이 채우지만 면(2차원)만큼은 아니라는 뜻이에요. 구불구불하고 복잡할수록 차원이 커져요.
출처 검토일: 2026-10-26
참고문헌
- Mandelbrot, B. B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 636–638.
- Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman.
- Falconer, K. (2014). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (3rd ed.). Wiley.
- Gleick, J. (1987). Chaos: Making a New Science. Viking.