أشكال تشبه أجزاؤها الكل
صاغ الرياضي الفرنسي الأمريكي البولندي المولد بنوا ماندلبرو كلمة «فراكتال» عام 1975 من اللاتينية fractus بمعنى «المكسور». فورقة السرخس مكوّنة من وريقات أصغر تشبه الورقة كلها، وهذه بدورها من وريقات أصغر، وتُسمى هذه الخاصية التي يكشف فيها التكبير عن بنى تشبه الكل «التشابه الذاتي». وتُبنى الكسيريات الرياضية بتكرار قاعدة بسيطة إلى ما لا نهاية؛ فمنحنى كوخ، الناتج عن تقسيم كل قطعة إلى أثلاث ورفع نتوء مثلثي على الثلث الأوسط مرارًا، يحيط بمساحة محدودة لكن محيطه لا نهائي الطول. وقد نشر ماندلبرو الفكرة في بحثه عام 1967 «كم طول ساحل بريطانيا؟» عبر مفارقة الساحل: كلما قصرت أداة القياس ازداد طول الساحل.
البعد الكسري
الخط أحادي البعد والمستوي ثنائي البعد، أما الكسيري فقد يقع بينهما. فإذا أمكن تقسيم شكل تمامًا إلى N نسخة مصغرة بنسبة 1/s كان بعده D = log N / log s. فالمربع ينقسم إلى تسع نسخ بثلث الحجم فيكون log 9 / log 3 = 2، ومنحنى كوخ ينقسم إلى أربع نسخ بثلث الحجم فيكون بعده نحو 1.26. وكلما ارتفع البعد ملأ الشكل المكان بكثافة أكبر.
| الشكل | الحساب | البعد |
|---|---|---|
| منحنى كوخ | log 4 / log 3 | ≈ 1.262 |
| مثلث سيربنسكي | log 3 / log 2 | ≈ 1.585 |
| إسفنجة منغر | log 20 / log 3 | ≈ 2.727 |
| الساحل الغربي لبريطانيا (ريتشاردسون) | قياس فعلي | ≈ 1.25 |
مجموعة ماندلبرو والكسيريات في الطبيعة والتقنية
مجموعة ماندلبرو هي مجموعة الأعداد المركبة c التي لا يتجه فيها تكرار z → z² + c إلى اللانهاية. رسمتها الحواسيب أول مرة نحو عام 1980، ولأن تكبير حدودها يكشف تفاصيل جديدة بلا نهاية صارت رمزًا للكسيريات. كما أن «الجواذب الغريبة» في نظرية الفوضى ذات بنية كسيرية. وفي الطبيعة تُعد قرنبيط الرومانيسكو وأغصان الأشجار وشبكات الأنهار والبرق ورقاقات الثلج ومسالك الهواء والأوعية الدموية في الرئتين كسيريات تقريبية؛ فالتفرع يحشر مساحة سطح هائلة في حجم صغير، وبه تستوعب الرئتان سطحًا يقارب 70 مترًا مربعًا، أي نحو نصف ملعب تنس، داخل الصدر. وتستخدمها التقنية في هوائيات الهواتف الصغيرة وتوليد الجبال والسحب في الأفلام والألعاب وضغط الصور.
الأسئلة الشائعة
- هل تتكرر الكسيريات فعلًا إلى ما لا نهاية؟
- الكسيريات الرياضية كذلك، أما الطبيعية فتتوقف عند حدود مثل حجم الخلايا أو الذرات، ولذا توصف الأجسام الطبيعية بأنها كسيرية ضمن نطاق معين من المقاييس.
- ماذا يعني أن البعد الكسري 1.26؟
- يعني أن الشكل يملأ المكان أكثر من الخط (البعد 1) وأقل من المستوي (البعد 2)، وكلما ازداد تعرجًا وتعقيدًا ارتفع بعده.
تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26
المراجع
- Mandelbrot, B. B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 636–638.
- Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman.
- Falconer, K. (2014). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (3rd ed.). Wiley.
- Gleick, J. (1987). Chaos: Making a New Science. Viking.