التعريف والحساب
إذا قسمنا قطعة طولها 1 إلى جزء أطول x وجزء أقصر 1−x بحيث يكون 1 : x = x : (1−x)، كانت نسبة الكل إلى الجزء الأطول φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618، وهي النسبة الذهبية. وقد سماها إقليدس في كتاب «الأصول» نحو 300 ق.م «النسبة القصوى والوسطى» وبيّن طريقة إنشائها، وانتشر اسم «القطع الذهبي» في ألمانيا في القرن التاسع عشر. وتحقق φ المعادلة φ² = φ + 1، فمربعها يساويها مضافًا إليها واحد (2.618)، ومقلوبها يساويها مطروحًا منها واحد (0.618). وكسرها المستمر [1; 1, 1, 1, …] يجعلها أصعب الأعداد غير النسبية تقريبًا بالكسور.
الخماسي ومتتالية فيبوناتشي
في الخماسي المنتظم تساوي نسبة القطر إلى الضلع φ تمامًا، وتقسم الأقطار بعضها بعضًا بالنسبة الذهبية، ولذلك صار النجم الخماسي رمزًا للفيثاغوريين. وإذا قطعت مربعًا من مستطيل ذهبي (ضلعاه φ:1) بقي مستطيل ذهبي آخر، وبتكرار ذلك ووصل أرباع الدوائر يُرسم الحلزون الذهبي. كما تتقارب نسب الحدود المتجاورة في متتالية فيبوناتشي (8/5 و13/8 و21/13…) نحو φ، وتُشتق منها «الزاوية الذهبية» البالغة نحو 137.5 درجة التي تضع بها نباتات كثيرة أوراقها المتعاقبة.
الأساطير والاستخدامات الحقيقية
الادعاءات الشائعة بأن البارثينون والأهرامات والموناليزا وجسم الإنسان صُممت وفق النسبة الذهبية تعتمد غالبًا على اختيار نقاط قياس مناسبة، وقد انتقدها المؤرخون والرياضيون لضعف أدلتها. ونشر لوكا باتشولي عام 1509 كتاب «التناسب الإلهي» برسوم ليوناردو دا فينشي، لكن لا دليل على أن ليوناردو تعمّد استخدامها في لوحاته. ومنذ تجارب غوستاف فخنر في سبعينيات القرن التاسع عشر جاءت نتائج دراسات تفضيل المستطيل الذهبي متضاربة. وهناك استخدامات متعمدة حقيقية مثل نظام «الموديولور» للمعماري لو كوربوزييه، وتُعد اليوم أحد المراجع في تصميم الشعارات وتكوين الصور وتخطيط صفحات الويب.
الأسئلة الشائعة
- كيف تُحسب النسبة الذهبية؟
- هي الحل الموجب للمعادلة التربيعية x² = x + 1، ويعطي القانون العام (1+√5)/2 ≈ 1.618، كما تعطي قسمة أعداد فيبوناتشي المتجاورة تقريبًا جيدًا لها.
- هل بطاقة الائتمان أو ورقة A4 بالنسبة الذهبية؟
- بطاقة الائتمان (نحو 1.586) قريبة منها لكنها ليست مطابقة، أما ورقة A4 فتستخدم √2 ≈ 1.414 كي تحافظ على شكلها عند قصها نصفين، وهي نسبة مختلفة.
تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26
المراجع
- Heath, T. L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed., Vol. 2). Dover.
- Livio, M. (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. Broadway Books.
- Markowsky, G. (1992). Misconceptions about the golden ratio. The College Mathematics Journal, 23(1), 2–19.
- Herz-Fischler, R. (1998). A Mathematical History of the Golden Number. Dover.