التعريف ومسألة الأرانب
تبدأ متتالية فيبوناتشي بحدين يساوي كل منهما 1 (أو بـ0 و1)، ثم يكون كل حد مجموع الحدين اللذين قبله. وسُميت باسم ليوناردو البيزي المعروف بفيبوناتشي، الذي أورد في كتابه «كتاب الحساب» عام 1202 مسألة عن الأرانب: إذا بدأ زوج من الأرانب حديث الولادة بالتكاثر بعد شهر ثم أنجب زوجًا جديدًا كل شهر، فكم زوجًا يكون بعد عام؟ والجواب شهرًا بعد شهر هو 1، 1، 2، 3، 5، 8 وهكذا. وقد عرف علماء العروض الهنود هذه الأعداد قبل ذلك بكثير عند عدّ ترتيبات المقاطع الطويلة والقصيرة، ونشر الرياضي الفرنسي إدوار لوكا اسم «متتالية فيبوناتشي» في القرن التاسع عشر.
نسب تقترب من النسبة الذهبية
إذا قسمت كل حد على الذي قبله حصلت على 2 ثم 1.5 ثم 1.667 ثم 1.6 ثم 1.625، تتأرجح فوق النسبة الذهبية φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180 وتحتها وتقترب منها. ومن هذه الصلة جاءت صيغة بينيه التي تحسب الحد النوني مباشرة من قوى φ. وللمتتالية خصائص طريفة أخرى، منها مبرهنة زيكندورف: كل عدد صحيح موجب يُكتب بطريقة واحدة فقط مجموعًا لأعداد فيبوناتشي غير متتالية.
| n | F(n) | F(n)/F(n−1) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 1 | 1.000 |
| 3 | 2 | 2.000 |
| 4 | 3 | 1.500 |
| 5 | 5 | 1.667 |
| 6 | 8 | 1.600 |
| 7 | 13 | 1.625 |
| 8 | 21 | 1.615 |
| 9 | 34 | 1.619 |
| 10 | 55 | 1.6176 |
| 11 | 89 | 1.6182 |
| 12 | 144 | 1.6180 |
فيبوناتشي في الطبيعة والحياة
تشكّل بذور عباد الشمس مجموعتين من الحلزونات تلتفان في اتجاهين متعاكسين، وكثيرًا ما يكون عددها عددين متجاورين من فيبوناتشي مثل 34 و55 أو 55 و89، ويتكرر ذلك في الكوز الصنوبري (8 و13) والأناناس. وتشير التجارب والنماذج إلى السبب: وضع كل ورقة أو بذرة جديدة بزاوية نحو 137.5 درجة (الزاوية الذهبية) عن سابقتها يملأ المكان بأكبر قدر من الانتظام. لكن ليست كل النباتات كذلك، وصدفة النوتي الشهيرة ليست حلزونًا ذهبيًا في الحقيقة. أما مستويات تصحيح فيبوناتشي في التداول (23.6% و38.2% و61.8%) فهي خطوط إرشادية شائعة، ولا دليل علميًا قويًا على أن الأسعار تنعكس عندها بانتظام. وفي علوم الحاسوب تُعد المثال الكلاسيكي الأول للاستدعاء الذاتي والبرمجة الديناميكية.
الأسئلة الشائعة
- هل تبدأ متتالية فيبوناتشي من 0 أم من 1؟
- كلا الاصطلاحين مستخدم؛ فكثيرًا ما يعرّف الرياضيون F(0)=0 وF(1)=1، بينما تبدأ مسألة الأرانب الأصلية بـ1، 1، والحدود اللاحقة واحدة في الحالتين.
- هل تتبع الطبيعة متتالية فيبوناتشي فعلًا؟
- تظهر كثيرًا في النباتات التي تنمو أوراقها أو بذورها في حلزونات مثل عباد الشمس والكوز الصنوبري، لكنها ليست قاعدة عامة، وبعض الأمثلة الشائعة مبالغ فيها.
تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26
المراجع
- Sigler, L. E. (2002). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer.
- Singh, P. (1985). The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica, 12(3), 229–244.
- Koshy, T. (2018). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications (2nd ed.). Wiley.
- Douady, S., & Couder, Y. (1992). Phyllotaxis as a physical self-organized growth process. Physical Review Letters, 68(13), 2098–2101.