التاريخ
قدّم كارل بيرسون اختبار مربّع كاي في بحث عام 1900، سعيًا إلى طريقة موضوعية للحكم على مطابقة المشاهدات لتوزيع نظري، كرميات النرد أو النسب الوراثية عند مندل. وقد أخطأ بيرسون في درجات الحرية لجداول التوافق، فلمّا صحّحه الشابّ رونالد فيشر عام 1922 صارا خصمين مدى الحياة. وفي عام 1934 أضاف فرانك ييتس تصحيح الاستمرارية للعيّنات الصغيرة. والاختبار اليوم من أكثر الطرائق استخدامًا في أبحاث المسوح والأبحاث الطبّية.
طريقة العمل
يُحسب لكلّ خلية (المشاهد − المتوقّع)² ÷ المتوقّع، ثم تُجمع القيم للحصول على χ². وكلّما كبرت الفروق كبرت القيمة، وتعطي مقارنة χ² بتوزيع مربّع كاي ذي درجات الحرية المناسبة قيمة p. وله ثلاثة استخدامات شائعة:
- جودة المطابقة: هل يتبع متغيّر واحد توزيعًا نظريًّا، كأن يكون النرد عادلًا.
- اختبار الاستقلال: هل يرتبط متغيّران فئويان، كالجنس وتفضيل علامة تجارية.
- اختبار التجانس: هل تتشارك مجموعات عدّة النسب نفسها.
ودرجات الحرية في جدول التوافق تساوي (عدد الصفوف − 1) × (عدد الأعمدة − 1).
تحفّظات وتطبيقات
إذا كانت التكرارات المتوقّعة في أكثر من 20% من الخلايا أقلّ من 5 اختلّ التقريب، ويُستخدم في جداول 2×2 حينئذٍ اختبار فيشر الدقيق. ويبيّن الاختبار وجود الارتباط لا قوّته، ولذا يُذكر معه معامل كرامر V. وخلافًا لـاختبار t الذي يقارن المتوسّطات، يتعامل مع التكرارات والنسب، ولهذا يشيع في مقارنة معدّلات التحويل في اختبارات A/B. ومع العيّنات الكبيرة جدًّا تصبح حتى الفروق التافهة دالّة، فينبغي مراعاة حجم العيّنة.
أسئلة شائعة
- بمَ يختلف عن اختبار t؟
- يقارن اختبار t متوسّطات البيانات المتّصلة، أمّا اختبار مربّع كاي فيقارن التكرارات أو النسب الفئوية.
- ماذا لو كانت التكرارات المتوقّعة صغيرة جدًّا؟
- يُستخدم اختبار فيشر الدقيق في جداول 2×2، أو تُدمج الفئات.
تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26
المراجع
- Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations... Philosophical Magazine, 50(302), 157–175.
- Fisher, R. A. (1922). On the interpretation of χ² from contingency tables. JRSS, 85(1), 87–94.
- Yates, F. (1934). Contingency tables involving small numbers. JRSS Supplement, 1(2), 217–235.
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.
- Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10(4), 417–451.
- Cramér, H. (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press.