定义与兔子问题
斐波那契数列的前两项为1（也可从0开始），此后每一项都是前两项之和。它得名于意大利比萨的数学家列奥纳多，即通常所说的斐波那契，他在1202年的《计算之书》（Liber Abaci）中提出了一个兔子问题：一对刚出生的兔子从第二个月起每月生一对小兔，一年后共有多少对？逐月计算，数量依次为1、1、2、3、5、8……不过早在此之前，印度的韵律学家在计算长短音节的排列方式时就已知道这组数。“斐波那契数列”这一名称是19世纪法国数学家卢卡斯推广开来的。
趋近黄金比例的比值
计算相邻两项之比F(n+1)/F(n)，会得到2、1.5、1.667、1.6、1.625……在上下摆动中逼近黄金比例φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180。因此有一个用φ的幂直接求第n项的“比内公式”。数列还有许多有趣性质，例如齐肯多夫定理：每个正整数都能以唯一方式写成若干不相邻斐波那契数之和。
| n | F(n) | F(n)/F(n−1) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 1 | 1.000 |
| 3 | 2 | 2.000 |
| 4 | 3 | 1.500 |
| 5 | 5 | 1.667 |
| 6 | 8 | 1.600 |
| 7 | 13 | 1.625 |
| 8 | 21 | 1.615 |
| 9 | 34 | 1.619 |
| 10 | 55 | 1.6176 |
| 11 | 89 | 1.6182 |
| 12 | 144 | 1.6180 |
自然与生活中的斐波那契
向日葵种子排成两组方向相反的螺旋，条数常常是34和55、55和89这样相邻的斐波那契数；松果（8和13）和菠萝表皮也类似。实验和模型表明，新叶或种子每次旋转约137.5度（“黄金角”）生长，能最均匀地填满空间。但并非所有植物都如此，常被引用的鹦鹉螺外壳其实与黄金螺线相差不小。股票和加密货币图表中的“斐波那契回撤”（23.6%、38.2%、61.8%）是投资者常用的辅助线，但价格必然在这些位置反转的科学依据很弱。在计算机科学中，它是学习递归和动态规划时最经典的例题。
常见问题
- 斐波那契数列从0开始还是从1开始？
- 两种写法都有。数学上常定义F(0)=0、F(1)=1，而最初的兔子问题从1、1开始。之后的各项完全相同。
- 自然界真的遵循斐波那契数列吗？
- 在向日葵、松果等叶片或种子呈螺旋排列的植物中确实常见，但并非所有自然现象都符合，有些流行说法是夸大或牵强附会。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- Sigler, L. E. (2002). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer.
- Singh, P. (1985). The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica, 12(3), 229–244.
- Koshy, T. (2018). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications (2nd ed.). Wiley.
- Douady, S., & Couder, Y. (1992). Phyllotaxis as a physical self-organized growth process. Physical Review Letters, 68(13), 2098–2101.