什么是微分和积分
汽车两小时行驶120公里，平均速度是每小时60公里，但仪表盘显示的是“此刻”的速度。微分就是借助极限，把时间间隔无限缩小到接近0，从而求出瞬时变化率，在图像上表现为切线的斜率。对函数f(x)求导得到导函数f′(x)，例如x²的导数是2x。积分则相反，把无数极细的矩形累加起来，求曲线下的面积或累积量；对速度图像积分就得到行驶的路程。这一思想可追溯到古希腊阿基米德求圆和抛物线弓形面积时使用的穷竭法。
基本定理与牛顿、莱布尼茨
“微积分基本定理”指出微分与积分互为逆运算，因此不必逐块相加求面积，只要找到导数等于被积函数的原函数，就能直接算出定积分。1665～1666年剑桥大学因瘟疫停课期间，艾萨克·牛顿创立了“流数术”，并用于研究运动定律和万有引力；戈特弗里德·莱布尼茨则独立创立微积分，并于1684年率先发表。今天使用的dx和∫等符号都来自莱布尼茨。两人谁先发明的问题曾在英国与欧洲大陆学者之间引发激烈争论，如今普遍认为二人是各自独立发现的。19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯用ε-δ语言给出了极限的严格定义。
应用领域
从物理学中的运动方程、电路和流体流动，到经济学的边际成本与边际收益，从药物在体内的消除速度到人口增长模型，微积分几乎是所有研究“变化”的领域的共同语言。人工智能神经网络训练所用的梯度下降和反向传播也以导数和链式法则为基础。中国高中数学选择性必修课程中学习导数及其应用，大学理工科一年级的“高等数学”或“微积分”几乎是所有专业的必修课。
常见问题
- 先学微分还是先学积分？
- 通常先学微分。大多数积分是通过求导的逆运算来计算的，掌握导数概念后再学积分更自然。
- 微积分在日常生活中真的有用吗？
- 即使很少亲手计算，导航的到达时间预测、天气预报、金融产品定价、医学影像和AI训练等许多技术都建立在微积分模型之上。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- Boyer, C. B. (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover.
- Hall, A. R. (1980). Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge University Press.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
- 교육부. (2023). 2028 대학입시제도 개편 확정안.