部分与整体相似的图形
“分形”（fractal）一词由出生于波兰的法裔美国数学家本华·曼德博于1975年根据拉丁语fractus（破碎的）创造。蕨类植物的叶子由许多形似整片叶子的小叶组成，小叶又由更小的叶片组成；这种放大局部后不断出现与整体相似结构的性质称为自相似性。数学上的分形是把简单规则无限重复而得到的。把线段三等分并在中间一段上竖起三角形凸起，不断重复就得到“科赫曲线”：它围成的面积有限，周长却是无穷大。曼德博在1967年的论文《英国的海岸线有多长？》中提出“海岸线悖论”——尺子越短，量出的海岸线越长——使这一概念广为人知。
分形维数
线是一维，面是二维，而分形可以介于两者之间。如果一个图形能恰好分成N个缩小为1/s的复制品，它的维数D = log N / log s。正方形可分成9个边长为1/3的小正方形，log 9 / log 3 = 2；科赫曲线可分成4个缩小为1/3的部分，维数约为1.26。维数越高，表示图形填充空间越密。
| 图形 | 计算 | 维数 |
|---|---|---|
| 科赫曲线 | log 4 / log 3 | ≈ 1.262 |
| 谢尔宾斯基三角形 | log 3 / log 2 | ≈ 1.585 |
| 门格海绵 | log 20 / log 3 | ≈ 2.727 |
| 英国西海岸（理查森测量） | 实测 | ≈ 1.25 |
曼德博集合与自然和技术中的分形
对复数c反复迭代z → z² + c，使结果不发散到无穷大的所有c组成的集合就是曼德博集合。1980年前后人们首次用计算机画出它的形状，放大边界会不断出现新的图案，它因此成为分形的象征。混沌理论中的“奇怪吸引子”也具有分形结构。自然界中的罗马花椰菜、树枝、河网、闪电、雪花以及肺部的支气管和血管都是近似分形；层层分叉能在小体积内容纳巨大的表面积，肺正因此能在胸腔里装下约70平方米（约半个网球场）的表面。技术上，分形被用于手机的小型分形天线、电影和游戏中山脉与云朵的程序化生成以及图像压缩等。
常见问题
- 分形真的会无限重复吗？
- 数学上的分形会无限重复，但自然界的分形会在细胞或原子尺度等极限处停止，因此常说自然物“在一定尺度范围内近似分形”。
- 分形维数是1.26是什么意思？
- 它比线（一维）填充更多空间，但又不如面（二维）。形状越曲折复杂，维数越高。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- Mandelbrot, B. B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 636–638.
- Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman.
- Falconer, K. (2014). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (3rd ed.). Wiley.
- Gleick, J. (1987). Chaos: Making a New Science. Viking.