쉬운 설명
주사위 하나를 던지면 1~6이 고르게 나와 정규분포와 전혀 달라요. 그런데 주사위 30개를 던져 평균을 내는 일을 수천 번 반복하면, 평균들은 3.5를 중심으로 종 모양의 정규분포를 그려요. 그 퍼짐(표준오차)은 원래 표준편차 σ를 √n으로 나눈 값이라, 표본이 4배 커지면 오차가 절반으로 줄어요.
왜 중요할까?
모집단 분포를 몰라도 표본평균에 정규분포를 적용할 수 있어 신뢰구간, t검정, p값 계산 대부분의 바탕이 돼요. 여론조사의 '표본오차 ±3.1%p'나 공정 품질관리도 여기에 기대요. 흔히 n≥30이면 충분하다고 하지만 경험칙일 뿐이고, 분포가 심하게 치우쳤거나 소득처럼 꼬리가 두꺼우면 훨씬 큰 표본이 필요해요. 분산이 무한한 분포(코시 분포)에는 성립하지 않아요.
자주 묻는 질문
- 데이터 자체가 정규분포가 되나요?
- 아니요. 정규분포에 가까워지는 건 개별 데이터가 아니라 표본평균의 분포예요.
- 표본은 클수록 좋은가요?
- 오차는 줄지만 √n에 비례해 줄어 효율이 점점 떨어지고, 편향된 표본은 커져도 바로잡히지 않아요.
출처 검토일: 2026-10-26
참고문헌
- Fischer, H. (2011). A History of the Central Limit Theorem. Springer.
- Laplace, P.-S. (1812). Théorie analytique des probabilités.
- Wasserman, L. (2004). All of Statistics. Springer.