정의와 기본 구조
러시아 수학자 안드레이 마르코프는 1906년 서로 의존하는 확률변수에도 대수의 법칙이 성립할 수 있음을 보이려고 이 과정을 처음 연구했어요. 당시 독립성이 대수의 법칙에 꼭 필요하다는 주장에 반박하려는 의도가 있었다고 알려져 있어요. 마르코프 연쇄에서는 오늘 비가 왔다면 내일 비가 올 확률이 정해져 있고, 그 확률은 어제나 그제의 날씨와는 상관이 없어요. 이를 ‘마르코프 성질’ 또는 무기억성이라고 해요. 각 상태에서 다른 상태로 옮겨 갈 확률을 전이확률이라 하고, 이를 모은 표가 전이행렬이에요. 전이행렬을 여러 번 곱하면 몇 단계 뒤의 상태 확률을 계산할 수 있어요. 마르코프는 1913년 푸시킨의 소설 『예브게니 오네긴』의 글자 2만 개를 세어 모음과 자음이 이어질 확률을 분석했는데, 이것이 언어에 확률 모형을 적용한 초기 사례로 꼽혀요.
정상분포와 장기 행동
어떤 상태에서든 다른 모든 상태로 갈 수 있고(기약성), 일정한 주기에 갇히지 않는(비주기성) 유한 마르코프 연쇄는 출발점과 상관없이 결국 하나의 정상분포로 수렴해요. 정상분포는 오랜 시간이 지난 뒤 각 상태에 머무르는 시간의 비율을 알려 줘요. 콜모고로프(1936)는 이 이론을 체계화했고, 케메니와 스넬(1960), 노리스(1997)의 교과서가 표준이 됐어요. 정상분포에 얼마나 빨리 가까워지는지를 다루는 ‘혼합 시간’ 연구는 레빈·페레스·윌머(2009)가 정리했어요. 이 성질은 몬테카를로 방법의 MCMC가 작동하는 원리이기도 해요. 원하는 분포를 정상분포로 갖는 연쇄를 만들어 충분히 오래 돌리면 그 분포에서 표본을 얻을 수 있어요.
주요 응용
섀넌(1948)은 정보이론에서 영어 텍스트를 마르코프 과정으로 모형화해 문장 생성 예시를 보였어요. 관찰할 수 없는 상태가 마르코프 연쇄를 따르고 관측값만 보이는 은닉 마르코프 모형은 바움과 페트리(1966)가 기초를 놓고 래비너(1989)가 정리하며 음성 인식과 생물정보학의 핵심 도구가 됐어요. 경제학에서는 해밀턴(1989)이 경기 확장과 침체 국면이 마르코프 연쇄로 바뀐다고 보는 마르코프 전환 모형을 제안했어요. 브린과 페이지(1998)의 페이지랭크는 웹을 무작위로 돌아다니는 사용자의 정상분포로 페이지 중요도를 계산해요. 벨먼(1957)의 마르코프 결정 과정은 강화학습과 인공지능의 의사결정 모형의 기반이 됐고, 대기행렬·신용등급 변동·인구 이동 분석에도 쓰여요.
자주 묻는 질문
- 마르코프 성질이란 무엇인가요?
- 미래 상태의 확률이 과거의 경로와 상관없이 현재 상태만으로 결정된다는 성질이에요. ‘현재가 주어지면 미래와 과거는 독립’이라고도 표현해요.
- 마르코프 연쇄는 어디에 쓰이나요?
- 검색 엔진의 페이지랭크, 음성 인식의 은닉 마르코프 모형, 베이즈 통계의 MCMC, 경기 국면 분석, 강화학습의 마르코프 결정 과정 등 매우 다양한 분야에 쓰여요.
출처 검토일: 2026-10-26
참고문헌
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