배경: 투표의 역설
18세기 프랑스에서 보르다(1781)는 순위에 점수를 매기는 방식을, 콩도르세(1785)는 대안끼리 일대일 다수결을 하는 방식을 제안했어요. 콩도르세는 세 사람이 A>B>C, B>C>A, C>A>B로 선호하면 다수결로 A가 B를, B가 C를, C가 A를 이기는 순환이 생긴다는 것을 발견했어요. 이를 콩도르세 역설 또는 투표의 역설이라고 해요. 개인은 각자 일관된 선호를 가져도 집단의 선호는 일관되지 않을 수 있다는 뜻이에요. 덩컨 블랙(1948)은 선호가 하나의 축 위에서 봉우리가 하나인 ‘단봉형’이면 순환이 사라지고 중위 투표자의 선호가 이긴다는 것을 보였어요.
정리의 내용
케네스 애로는 1950년 논문과 『사회적 선택과 개인의 가치』(1951)에서 이 문제를 일반화했어요. 대안이 셋 이상일 때, 사회적 선호를 만드는 규칙에 다음 조건을 요구해요. 첫째, 보편성: 개인이 어떤 선호를 가지든 결과를 내야 해요. 둘째, 파레토 조건: 모든 사람이 A를 B보다 선호하면 사회도 그래야 해요. 셋째, 무관한 대안의 독립성: A와 B의 사회적 순위는 A와 B에 대한 개인 선호에만 의존해야 해요. 넷째, 비독재: 한 사람의 선호가 언제나 사회의 선호가 되어서는 안 돼요. 애로는 사회적 선호가 이행적이어야 한다는 전제 아래 네 조건을 동시에 만족하는 규칙이 없다는 것을 증명했어요. 다수결, 보르다 방식, 결선 투표 등 모든 순위 기반 방식이 어떤 조건을 어긴다는 뜻이에요. 지나코플로스(2005)는 이를 짧은 증명들로 정리했어요. 애로는 1972년 노벨 경제학상을 받았어요.
확장과 해석 논쟁
아마르티아 센(1970)은 개인의 최소한의 자유와 파레토 조건이 충돌하는 ‘파레토 자유주의자의 불가능성’을 보이고, 개인 간 효용 비교 같은 정보를 더하면 불가능성을 피할 수 있다고 주장해 1998년 노벨상을 받았어요. 기바드(1973)와 새터스웨이트(1975)는 셋 이상의 대안에서 전략적 거짓 투표를 원천 차단하는 비독재적 규칙은 없다는 것을 증명해 게임이론적 함의를 더했어요. 메이(1952)는 대안이 둘이면 다수결이 공정성 조건을 모두 만족하는 유일한 규칙임을 보였어요. 윌리엄 라이커(1982)는 이 결과들을 근거로 ‘국민의 의지’라는 개념 자체가 불안정하다고 보는 자유주의적 민주주의 해석을 내놨고, 공공선택이론에 큰 영향을 줬어요. 반면 발린스키와 라라키(2011)처럼 순위 대신 점수나 등급을 쓰는 평가 기반 투표는 애로의 조건 일부를 우회할 수 있다는 연구도 있어요.
자주 묻는 질문
- 애로의 정리는 민주주의가 불가능하다는 뜻인가요?
- 아니에요. 완벽한 순위 집계 규칙이 없다는 뜻이며, 모든 투표 제도가 어떤 조건을 일부 포기하는 타협을 한다는 점을 보여 줘요. 어떤 조건을 포기할지는 제도 설계의 선택이에요.
- 대안이 둘일 때도 불가능성이 생기나요?
- 아니에요. 대안이 둘이면 단순 다수결이 모든 조건을 만족해요. 불가능성은 대안이 셋 이상일 때 나타나요.
출처 검토일: 2026-10-26
참고문헌
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- Borda, J.-C. de (1781). Mémoire sur les élections au scrutin. Histoire de l'Académie Royale des Sciences.
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