背景：投票悖论
18世纪的法国，博尔达（1781）提出按排名计分的方法，孔多塞（1785）提出备选项两两进行多数表决的方法。孔多塞发现，若三人的偏好分别为A>B>C、B>C>A、C>A>B，多数表决会出现循环：A胜B、B胜C、C又胜A。这就是孔多塞悖论，亦称投票悖论：每个人的偏好都一致，群体的偏好却可能不一致。邓肯·布莱克（1948）证明，若偏好在一条维度上呈“单峰”形态，循环就会消失，中位选民的偏好胜出。
定理的内容
肯尼斯·阿罗在1950年的论文和《社会选择与个人价值》（1951）中把这一问题一般化。当备选项有三个或以上时，他要求形成社会偏好的规则满足以下条件。无限制定义域：无论个人偏好如何都必须给出结果。帕累托条件：若人人都偏好A胜于B，社会也应如此。无关备选项独立性：社会对A与B的排序只取决于个人对A与B的偏好。非独裁：任何一个人的偏好都不能总是成为社会偏好。在要求社会偏好满足传递性的前提下，阿罗证明不存在同时满足这四个条件的规则；多数决、博尔达计数、决选投票等一切基于排序的方法都会违反某个条件。吉纳科普洛斯（2005）给出了三个简短证明。阿罗于1972年获诺贝尔经济学奖。
拓展与解释之争
阿马蒂亚·森（1970）提出“帕累托自由主义者的不可能性”，揭示最低限度的个人自由与帕累托条件之间的冲突，并主张加入人际效用比较等信息即可避开不可能性，他于1998年获诺贝尔奖。吉巴德（1973）与萨特思韦特（1975）证明，在三个及以上备选项时，不存在能完全防止策略性虚报的非独裁规则，增添了博弈论层面的含义。梅（1952）证明，备选项只有两个时，简单多数决是满足基本公平条件的唯一规则。威廉·赖克（1982）据此提出自由主义的民主解释，认为“人民意志”这一概念本身就不稳定，深刻影响了公共选择理论。另一方面，巴林斯基与拉拉基（2011）等研究认为，用评分或等级代替排序的评价式投票可以绕开阿罗的部分条件。
常见问题
- 阿罗定理是否意味着民主不可能？
- 不是。它表明不存在完美的排序汇总规则，每种投票制度都在放弃某些条件上作出妥协；放宽哪个条件是制度设计的选择。
- 只有两个备选项时也会出现不可能性吗？
- 不会。两个备选项时，简单多数决满足所有条件；不可能性只在三个及以上备选项时出现。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- de Condorcet, N. (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris: Imprimerie Royale.
- Borda, J.-C. de (1781). Mémoire sur les élections au scrutin. Histoire de l'Académie Royale des Sciences.
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- Sen, A. (1970). The impossibility of a Paretian liberal. Journal of Political Economy, 78(1), 152–157.
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