圣彼得堡悖论与伯努利
设想一个游戏：抛硬币直到第一次出现正面，若共抛n次就得到2ⁿ元。这个游戏的期望奖金是无穷大，但几乎没人愿意花大价钱参与。1738年，丹尼尔·伯努利解释说，人们依据的不是金额本身，而是金钱带来的满足即效用，而且财富越多，新增金额带来的效用越小（他提出对数效用）。这一思想是后来边际效用递减概念的先声；用期望效用代替期望值，悖论便迎刃而解。
公理化与风险态度
约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯坦在《博弈论与经济行为》（1944）中证明：只要偏好满足完备性、传递性、连续性和独立性等公理，就可以用期望效用来表示。这一结果成为博弈论和现代微观经济学的基础；伦纳德·萨维奇（1954）进一步表明，即使概率不是客观给定的，也能用个人主观概率建立同样的理论，从而与贝叶斯统计相连。效用函数的弯曲程度反映风险态度：凹函数表示风险厌恶，凸函数表示风险偏好。约翰·普拉特（1964）和肯尼斯·阿罗（1965）提出了衡量风险厌恶程度的指标，广泛用于保险、投资组合选择和资产定价；弗里德曼和萨维奇（1948）则试图用效用曲线的形状解释人们为何同时购买保险和彩票。
悖论与替代理论
1953年，莫里斯·阿莱提出“阿莱悖论”，表明人们在比较确定收益与风险选项时会系统性地违反独立性公理；1961年，丹尼尔·埃尔斯伯格提出“埃尔斯伯格悖论”，表明人们厌恶概率未知的模糊情境。丹尼尔·卡尼曼和阿莫斯·特沃斯基（1979）提出前景理论：人们以参照点衡量得失，对损失更敏感，并高估小概率事件，由此开启了行为经济学。马克·马奇纳（1987）综述了放宽独立性公理的广义期望效用模型。尽管如此，期望效用理论仍是理性选择的规范基准和经济学的基本模型。
常见问题
- 期望值和期望效用有什么区别？
- 期望值是金额按概率加权求和，期望效用是金额带来的满足（效用）按概率加权求和。由于效用与金额并不成正比，两者给出的判断可能不同。
- 期望效用理论是错误的吗？
- 大量证据表明它不能完美描述实际行为，但作为说明理性选择应当如何的规范理论和分析起点，它仍然非常重要。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- Bernoulli, D. (1738/1954). Specimen theoriae novae de mensura sortis. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 5, 175–192 (Eng. trans. Exposition of a new theory on the measurement of risk. Econometrica, 22(1), 23–36).
- von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
- Friedman, M., & Savage, L. J. (1948). The utility analysis of choices involving risk. Journal of Political Economy, 56(4), 279–304.
- Allais, M. (1953). Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine. Econometrica, 21(4), 503–546.
- Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. New York: Wiley.
- Ellsberg, D. (1961). Risk, ambiguity, and the Savage axioms. Quarterly Journal of Economics, 75(4), 643–669.
- Pratt, J. W. (1964). Risk aversion in the small and in the large. Econometrica, 32(1/2), 122–136.
- Arrow, K. J. (1965). Aspects of the Theory of Risk-Bearing. Helsinki: Yrjö Jahnssonin Säätiö.
- Kahneman, D., & Tversky, A. (1979). Prospect theory: An analysis of decision under risk. Econometrica, 47(2), 263–291.
- Machina, M. J. (1987). Choice under uncertainty: Problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives, 1(1), 121–154.