공적분

공적분이란?

공적분(cointegration)은 두 개 이상의 시계열이 각각은 단위근을 가진 비정상 시계열(I(1))이지만, 이들을 적절히 섞은 선형결합은 정상(I(0))이 되는 관계를 말해요. 쉽게 말해 각 변수는 제멋대로 움직이는 것처럼 보여도, 서로 사이의 거리는 일정한 수준으로 되돌아오는 장기 균형 관계가 있다는 뜻이에요. 로버트 엥글과 클라이브 그레인저가 1987년 논문으로 체계화했고, 두 사람은 2003년 노벨경제학상을 받았어요.

왜 필요할까?

단위근이 있는 변수끼리 회귀하면 관계가 없어도 유의하게 나오는 가성회귀가 생길 수 있어요(그레인저·뉴볼드, 1974). 그렇다고 모두 차분해 버리면 변수 사이의 장기 관계 정보를 잃어요. 공적분은 "이 관계는 가짜인가, 진짜 장기 균형인가"를 가려 주는 도구예요.

공적분 검정 방법

오차수정모형(ECM)

공적분 관계가 있으면 그레인저 표현정리에 따라 오차수정모형으로 나타낼 수 있어요. 오차수정모형은 단기 변동과 함께, 장기 균형에서 벗어난 정도(오차수정항)를 다음 기에 얼마나 되돌리는지를 보여 줘요. 오차수정항 계수가 음수이고 유의하면 균형으로 돌아가는 힘이 있다는 뜻이에요. 변수가 여럿이면 벡터오차수정모형(VECM)을 써요.

대표적인 예

1. 소비와 소득: 둘 다 추세를 따라 오르지만 소비성향이 크게 벗어나지 않아요.
2. 장단기 금리: 기간 프리미엄을 두고 함께 움직여요.
3. 페어 트레이딩: 공적분 관계인 두 종목의 가격 차이가 벌어지면 다시 좁혀질 것을 기대해 거래해요.

공적분은 흔히 '술 취한 사람과 그의 개'로 설명돼요. 둘 다 제멋대로 비틀거리며 걷지만, 개는 주인과 너무 멀어지면 돌아오고 주인도 개를 부르기 때문에 둘 사이 거리는 일정 범위를 유지해요. 각자의 경로는 예측하기 어려워도 '둘의 거리'는 정상 시계열인 셈이에요(Murray, 1994).

자주 묻는 질문

상관관계가 높으면 공적분인가요?

아니에요. 상관은 단기 동조성이고, 공적분은 장기적으로 거리가 일정하게 유지되는지를 봐요. 상관이 높아도 공적분이 아닐 수 있어요.

공적분 검정 전에 무엇을 해야 하나요?

먼저 각 변수가 같은 차수(보통 I(1))로 적분돼 있는지 단위근 검정으로 확인해요.

공적분이 없으면?

차분한 변수로 VAR 등 단기 모형을 세우는 것이 일반적이에요.

이 이론을 다룬 레포트·발표 자료는 캠퍼스다운 자료실의 '공적분' 레포트 검색에서 찾아볼 수 있어요.

참고문헌

1. Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987). Co-integration and error correction: Representation, estimation, and testing. Econometrica, 55(2), 251–276.
2. Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12(2–3), 231–254.
3. Granger, C. W. J., & Newbold, P. (1974). Spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics, 2(2), 111–120.
4. The Royal Swedish Academy of Sciences (2003). The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2003 (nobelprize.org).
5. Murray, M. P. (1994). A drunk and her dog: An illustration of cointegration and error correction. The American Statistician, 48(1), 37–39.