ARIMA 모형이란?
ARIMA(AutoRegressive Integrated Moving Average) 모형은 시계열의 현재 값을 자신의 과거 값과 과거 예측 오차로 설명하는 모형이에요. 추세 때문에 평균이 계속 변하는 시계열은 먼저 차분(differencing)으로 안정시킨 뒤 분석해요. 통계학자 조지 박스(George Box)와 그윌림 젠킨스(Gwilym Jenkins)가 1970년 『시계열 분석: 예측과 제어』에서 모형을 고르고 검증하는 절차까지 체계화해, 박스-젠킨스 방법이라고도 불러요.
- AR(p)
- 과거 p개 시점의 값으로 설명
- I(d)
- d번 차분해서 정상 시계열로 만듦
- MA(q)
- 과거 q개 시점의 예측 오차로 설명
- 표기
- ARIMA(p, d, q)
정상성과 차분
ARIMA는 평균과 분산이 시간에 따라 변하지 않는 정상(stationary) 시계열을 전제로 해요. 주가나 GDP처럼 추세가 있으면 전기 대비 변화량(1차 차분)을 구해 정상화하고, 그래도 안 되면 한 번 더 차분해요. 차분이 필요한지는 단위근 검정으로 확인하는데, 대표적인 것이 디키와 풀러(1979)의 ADF 검정이에요.
박스-젠킨스 절차
- 식별: ACF·PACF 그래프를 보고 p, d, q 후보를 정해요.
- 추정: 최대우도법 등으로 계수를 추정하고 AIC·BIC로 모형을 비교해요.
- 진단: 잔차가 백색잡음인지 융-박스 검정(1978)으로 확인해요.
- 예측: 통과한 모형으로 미래 값을 예측해요.
| 모형 | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | 서서히 감소 | p 이후 절단 |
| MA(q) | q 이후 절단 | 서서히 감소 |
| ARMA | 서서히 감소 | 서서히 감소 |
내일 전력 수요나 다음 달 판매량은 어떻게 예측할까요? 가장 먼저 떠올리는 방법이 "과거 패턴이 이어진다"는 가정이에요. ARIMA는 이 직관을 수식으로 만든 거예요. 여름마다 반복되는 패턴이 있다면 계절 차분을 더한 계절 ARIMA(SARIMA)를 써요.
한계
선형 관계만 다루고, 구조 변화나 갑작스러운 충격에는 약해요. 금융 수익률처럼 변동성이 시기마다 몰려서 커지는 경우에는 분산을 따로 모형화하는 GARCH 모형을 함께 써요. 주가처럼 과거 정보로 예측하기 어렵다는 주장은 효율적 시장 가설과 연결돼요.
자주 묻는 질문
- ARIMA(1,1,1)은 무슨 뜻인가요?
- 한 번 차분한 시계열을 직전 1개 값(AR 1)과 직전 1개 오차(MA 1)로 설명한다는 뜻이에요.
- 차분은 몇 번 하나요?
- 보통 1번, 많아야 2번이에요. 단위근 검정과 그래프로 판단해요.
- ARIMA와 ARMA의 차이는?
- ARMA는 정상 시계열에 쓰고, ARIMA는 차분 단계(I)를 더해 비정상 시계열도 다뤄요.
이 이론을 다룬 레포트·발표 자료는 캠퍼스다운 자료실의 'ARIMA 모형' 레포트 검색에서 찾아볼 수 있어요.
캠퍼스다운 자료실에는 이 주제를 다룬 자료도 있어요: 「수요예측 기법 종류와 시계열 분석, 오차 줄이는 방법」.
참고문헌
- Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1970). Time series analysis: Forecasting and control. Holden-Day.
- Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74(366), 427–431.
- Ljung, G. M., & Box, G. E. P. (1978). On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika, 65(2), 297–303.