什么是ARIMA模型？
ARIMA模型（差分整合移动平均自回归模型）用时间序列自身的过去值和过去的预测误差来解释当前值。有趋势的序列需先差分使其平稳。统计学家乔治·博克斯和格威林·詹金斯在1970年的著作中系统提出了从识别到检验的建模流程，因此也称Box-Jenkins方法。
📌 一览
- AR(p)
- 用过去p期的值解释
- I(d)
- 差分d次使序列平稳
- MA(q)
- 用过去q期的误差解释
- 记法
- ARIMA(p, d, q)
平稳性与差分
ARIMA以均值和方差不随时间变化的平稳序列为前提。GDP等有趋势的序列通常做一阶差分，必要时做二阶差分。是否需要差分可用单位根检验判断，最常用的是基于迪基和富勒（1979）的ADF检验。
Box-Jenkins流程
- 识别：根据ACF和PACF图确定p、d、q的候选值。
- 估计：估计参数，用AIC或BIC比较模型。
- 诊断：用Ljung-Box检验（1978）检查残差是否为白噪声。
- 预测：用通过诊断的模型进行预测。
| 模型 | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | 逐渐衰减 | p阶后截尾 |
| MA(q) | q阶后截尾 | 逐渐衰减 |
| ARMA | 逐渐衰减 | 逐渐衰减 |
明天的用电量、下个月的销量是怎么预测的？最直接的假设是"过去的规律会延续"。ARIMA把这种直觉变成了模型；如果每年夏季都重复同样的波动，就使用加入季节差分的季节ARIMA（SARIMA）。
局限
ARIMA只能处理线性关系，对结构突变和突发冲击较为无力。金融收益率这类波动聚集的序列，常结合对方差建模的GARCH模型。价格难以用历史信息预测的观点则与有效市场假说相关。
常见问题
- ARIMA(1,1,1)是什么意思？
- 对一阶差分后的序列，用滞后一期的值和滞后一期的误差来解释。
- 差分几次合适？
- 通常一次，最多两次，可结合单位根检验和图形判断。
- ARIMA与ARMA有何区别？
- ARMA用于平稳序列，ARIMA增加了差分步骤，可处理非平稳序列。
参考文献
- Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1970). Time series analysis: Forecasting and control. Holden-Day.
- Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74(366), 427–431.
- Ljung, G. M., & Box, G. E. P. (1978). On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika, 65(2), 297–303.