블랙-숄즈 모형

기원과 핵심 아이디어

옵션 가격을 수학적으로 다룬 첫 시도는 루이 바슐리에(1900)의 박사논문으로, 그는 주가 변동을 브라운 운동으로 모형화했어요. 폴 새뮤얼슨(1965)은 주가가 음수가 될 수 없도록 기하 브라운 운동을 도입했지만, 투자자의 위험 선호에 따라 달라지는 할인율 문제가 남아 있었어요. 피셔 블랙과 마이런 숄즈(1973)의 돌파구는 옵션과 기초자산을 적절한 비율로 섞으면 짧은 순간 동안 가격 변동 위험이 상쇄되는 포트폴리오를 만들 수 있다는 점이었어요. 이 포트폴리오는 위험이 없으므로 무위험 이자율만큼 수익을 내야 하고, 그렇지 않으면 차익거래가 생겨요. 이 조건에서 옵션 가격이 따라야 할 편미분방정식이 나오며, 놀랍게도 그 해에는 기대수익률이나 위험 선호가 들어가지 않아요. 로버트 머튼(1973)은 확률미적분을 이용해 이 논리를 엄밀하게 정리하고 일반화했어요.

공식과 가정, 내재변동성

블랙-숄즈 공식은 유럽형 콜옵션 가격을 기초자산 가격, 행사가격, 만기까지 남은 시간, 무위험 이자율, 기초자산 수익률의 변동성이라는 다섯 변수로 표현해요. 이 중 직접 관찰할 수 없는 것은 변동성뿐이라서, 시장에서 거래되는 옵션 가격을 공식에 넣어 거꾸로 변동성을 구한 ‘내재변동성’이 널리 쓰이게 되었어요. 모형은 거래비용이 없고 연속 거래가 가능하며, 변동성과 이자율이 일정하고, 가격이 연속적으로 움직인다는 강한 가정을 두어요. 1987년 주가 폭락 이후에는 행사가격에 따라 내재변동성이 달라지는 ‘변동성 스마일’이 뚜렷해져, 가정이 현실과 어긋난다는 점이 드러났어요. 공식에서 파생되는 델타, 감마, 베가 같은 민감도 지표는 위험 관리의 기본 언어가 되었어요.

확장과 영향

콕스와 로스(1976)는 위험중립 가격결정의 직관을 제시했고, 콕스, 로스, 루빈스타인(1979)의 이항모형은 미국형 옵션까지 쉽게 계산할 수 있는 이산 시간 방법을 제공했어요. 해리슨과 크렙스(1979)는 차익거래가 없다는 조건과 마팅게일 측도의 동치 관계를 밝혀 현대 자산가격결정 이론의 토대를 놓았어요. 머튼(1976)의 점프-확산 모형, 헤스턴(1993)의 확률변동성 모형, 루빈스타인(1994)의 내재 이항트리는 스마일을 설명하려는 시도예요. 머튼(1974)은 기업의 주식을 자산에 대한 콜옵션으로 보아 신용위험을 분석했고, 이 관점은 실물옵션 이론으로도 이어졌어요. 숄즈와 머튼은 1997년 노벨 경제학상을 받았어요. 맥켄지와 밀로(2003)는 시장 참여자들이 모형을 사용하면서 실제 가격이 모형에 가까워졌다는 ‘수행성’ 분석으로 금융사회학에 영향을 주었어요. 이 모형은 효율적 시장 가설, 현대 포트폴리오 이론과 함께 현대 금융경제학의 핵심을 이뤄요.

자주 묻는 질문

블랙-숄즈 모형을 쉽게 설명하면?

옵션과 주식을 잘 섞으면 위험이 없는 조합을 만들 수 있다는 점을 이용해, 옵션의 공정한 가격을 공식으로 계산하는 모형이에요.

내재변동성이란 무엇인가요?

시장에서 거래되는 옵션 가격을 블랙-숄즈 공식에 넣어 거꾸로 구한 변동성으로, 시장이 예상하는 미래 가격 변동의 크기를 나타내는 지표로 쓰여요.

출처 검토일: 2026-10-26

참고문헌

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