ブラック＝ショールズ・モデルを簡単に言うと？

オプションと株式をうまく組み合わせれば無リスクのポジションが作れることを利用して、オプションの公正な価格を公式で計算するモデルです。

インプライド・ボラティリティとは何ですか？

市場で取引されるオプション価格をブラック＝ショールズ式に入れて逆算したボラティリティで、市場が予想する将来の価格変動の大きさを示す指標として使われます。

ブラック＝ショールズ・モデル

📈 経済学執筆 CampusDown ウィキ編集部最終更新 2026年10月26日

ブラック＝ショールズ・モデルは、原資産価格が幾何ブラウン運動に従うという仮定のもと、オプションと原資産を組み合わせて無リスクのポートフォリオを作れるという論理から、ヨーロピアン・オプションの理論価格を閉じた形の公式で求める金融経済学のモデルです。1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが発表し、ロバート・マートンが厳密に発展させました。

1. 起源と中心的なアイデア
2. 公式と仮定、インプライド・ボラティリティ
3. 拡張と影響
4. よくある質問
5. 参考文献

起源と中心的なアイデア

オプション価格を数学的に扱った最初の試みはルイ・バシュリエ（1900年）の博士論文で、彼は価格変動をブラウン運動としてモデル化しました。ポール・サミュエルソン（1965年）は価格が負にならないよう幾何ブラウン運動を導入しましたが、投資家のリスク選好によって変わる割引率の問題が残っていました。ブラックとショールズ（1973年）の突破口は、オプションと原資産を適切な比率で組み合わせると、ごく短い時間のあいだ価格変動リスクが相殺されるポートフォリオを作れるという点でした。このポートフォリオは無リスクなので無リスク金利と同じ収益を上げなければならず、そうでなければ裁定取引が生じます。この条件からオプション価格が満たすべき偏微分方程式が導かれ、驚くべきことにその解には期待収益率もリスク選好も含まれません。マートン（1973年）は確率解析を用いてこの論理を厳密に定式化し、一般化しました。

公式と仮定、インプライド・ボラティリティ

ブラック＝ショールズ式は、ヨーロピアン・コールの価格を、原資産価格、行使価格、満期までの期間、無リスク金利、原資産収益率のボラティリティという5つの変数で表します。このうち直接観察できないのはボラティリティだけなので、市場で取引されるオプション価格を公式に入れて逆算した「インプライド・ボラティリティ」が広く使われるようになりました。モデルは、取引コストがない、連続的に取引できる、ボラティリティと金利が一定である、価格が連続的に動くといった強い仮定を置いています。1987年の株価暴落以降は、行使価格によってインプライド・ボラティリティが異なる「ボラティリティ・スマイル」が顕著になり、仮定が現実とずれていることが明らかになりました。公式から導かれるデルタ、ガンマ、ベガといった感応度指標は、リスク管理の基本的な言語となりました。

拡張と影響

コックスとロス（1976年）はリスク中立評価の直観を示し、コックス、ロス、ルービンシュタイン（1979年）の二項モデルはアメリカン・オプションも容易に計算できる離散時間の方法を提供しました。ハリソンとクレプス（1979年）は、裁定機会がないことと同値マルチンゲール測度の存在との対応関係を明らかにし、現代の資産価格理論の土台を築きました。マートン（1976年）のジャンプ拡散モデル、ヘストン（1993年）の確率ボラティリティ・モデル、ルービンシュタイン（1994年）のインプライド二項ツリーは、スマイルを説明しようとする試みです。マートン（1974年）は企業の株式を資産に対するコール・オプションとみなして信用リスクを分析し、この視点はリアル・オプション理論にもつながりました。ショールズとマートンは1997年にノーベル経済学賞を受賞しました。マッケンジーとミロ（2003年）は、市場参加者がモデルを使うにつれて実際の価格がモデルに近づいたという「遂行性」の分析で金融社会学に影響を与えました。このモデルは効率的市場仮説や現代ポートフォリオ理論とともに、現代金融経済学の中核をなしています。

よくある質問

ブラック＝ショールズ・モデルを簡単に言うと？: オプションと株式をうまく組み合わせれば無リスクのポジションが作れることを利用して、オプションの公正な価格を公式で計算するモデルです。
インプライド・ボラティリティとは何ですか？: 市場で取引されるオプション価格をブラック＝ショールズ式に入れて逆算したボラティリティで、市場が予想する将来の価格変動の大きさを示す指標として使われます。

出典確認日：2026-10-26

参考文献

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