내용
- 평면: 두 도형을 평행선으로 자를 때 대응하는 선분의 길이가 항상 같으면 두 도형의 넓이는 같아요.
- 공간: 두 입체를 평행한 평면으로 자를 때 대응하는 단면의 넓이가 항상 같으면 두 입체의 부피는 같아요.
예를 들어 동전 더미를 비스듬히 밀어도 각 동전의 넓이와 높이가 그대로라 부피는 변하지 않아요. 그래서 밑넓이와 높이가 같은 비스듬한 기둥과 곧은 기둥의 부피가 같아요.
역사
이탈리아 수학자 카발리에리는 1635년 『불가분량의 기하학』에서 도형을 무수히 많은 선이나 면(불가분량)의 모임으로 보는 방법을 제시했어요. 비슷한 생각은 아르키메데스와 5세기 중국의 조긍지에게서도 찾을 수 있어요. 이 방법은 뉴턴과 라이프니츠의 미적분 탄생에 영향을 주었어요.
구의 부피 유도
반지름 r인 반구와, 반지름 r·높이 r인 원기둥에서 같은 꼭짓점의 원뿔을 파낸 입체를 비교하면 높이 h에서 단면 넓이가 둘 다 π(r²-h²)로 같아요. 따라서 반구의 부피는 πr³-πr³/3=2πr³/3이고, 구의 부피는 4πr³/3이에요.
적분과의 관계
오늘날에는 부피를 단면 넓이 함수의 정적분 V=∫A(x)dx로 나타내므로, 단면 넓이 함수가 같으면 부피가 같다는 결과로 이 원리를 엄밀히 설명할 수 있어요.
캠퍼스다운 자료실에는 이 이론을 다룬 자료도 있어요: 「카발리에리의 원리」, 「학술제 탐구 계획서: 카발리에리의 원리를 활용한 다양한 물체의 넓이 및 부피 측정과 오차 분석」.
이 이론을 다룬 레포트·발표 자료는 캠퍼스다운 자료실의 '카발리에리의 원리' 레포트 검색에서 찾아볼 수 있어요.
참고문헌
- Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
- Eves, H. (1991). Two surprising theorems on Cavalieri congruence. The College Mathematics Journal, 22(2), 118-124.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage.