مبدأ كافالييري

نصّ المبدأ

• في المستوى: إذا قطع كلُّ مستقيم موازٍ لمستقيم معلوم شكلين في قطعتين متساويتين طولًا، فإن مساحتي الشكلين متساويتان.
• في الفضاء: إذا قطع كلُّ مستوٍ موازٍ لمستوٍ معلوم مجسّمين في مقطعين متساويين مساحةً، فإن حجميهما متساويان.

فرزمة من القطع النقدية إذا دُفعت لتميل يبقى حجمها كما هو، ولذا يكون للمنشور أو الأسطوانة المائلة حجمُ نظيرتها القائمة ذات القاعدة والارتفاع نفسيهما.

التاريخ

عرض الرياضي الإيطالي بونافنتورا كافالييري طريقة اللامتجزئات في كتابه Geometria indivisibilibus (1635)، فعدّ الأشكال مؤلّفة من عدد لانهائي من الخطوط أو المستويات. وتظهر أفكار مشابهة لدى أرخميدس ولدى الرياضي الصيني زو غنغ في القرن الخامس. وقد أسهمت الطريقة في نشوء حساب التفاضل والتكامل عند نيوتن ولايبنتز.

حجم الكرة

يُقارَن نصف كرة نصف قطرها r بأسطوانة نصف قطرها وارتفاعها r نُزع منها مخروط. عند الارتفاع h تكون مساحة المقطع في الحالتين π(r²−h²)، فيكون حجم نصف الكرة πr³−πr³/3 = 2πr³/3، وحجم الكرة 4πr³/3.

الصلة بالتكامل

يُكتب الحجم اليوم بالصيغة V=∫A(x)dx، فتؤدّي دوال المساحة المتساوية إلى حجوم متساوية، وهو ما يسوّغ المبدأ تسويغًا دقيقًا.

تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26

المراجع

1. Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
2. Eves, H. (1991). Two surprising theorems on Cavalieri congruence. The College Mathematics Journal, 22(2), 118-124.
3. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage.
4. Andersen, K. (1985). Cavalieri's method of indivisibles. Archive for History of Exact Sciences, 31(4), 291–367.
5. Heath, T. L. (Ed.). (1912). The Method of Archimedes. Cambridge University Press.
6. Cavalieri, B. (1635). Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bologna.