مثال بسيط
عند رمي نرد واحد تتساوى احتمالات الأوجه من 1 إلى 6، وهذا لا يشبه منحنى الجرس إطلاقًا. لكن خذ متوسط 30 نردًا وكرّر ذلك آلاف المرات، فتشكّل هذه المتوسطات توزيعًا طبيعيًا جرسيّ الشكل متمركزًا عند 3.5. وتشتّتها، أي الخطأ المعياري، يساوي الانحراف المعياري الأصلي σ مقسومًا على √n، لذا فإن مضاعفة العينة أربع مرات تُنصِّف الخطأ.
لماذا تهمّ
لأن متوسطات العينات تسلك سلوكًا طبيعيًا حتى حين لا يكون المجتمع كذلك، فإن المبرهنة تقوم عليها فترات الثقة واختبارات t ومعظم حسابات القيمة الاحتمالية، بما في ذلك «هامش الخطأ ±3 نقاط» في استطلاعات الرأي. وقاعدة n ≥ 30 مجرد قاعدة تقريبية: فالبيانات شديدة الالتواء أو ثقيلة الذيل مثل الدخل تحتاج إلى عينات أكبر بكثير، وتفشل المبرهنة مع التوزيعات ذات التباين اللانهائي مثل توزيع كوشي.
أسئلة شائعة
- هل تصبح البيانات نفسها طبيعية؟
- لا، بل توزيع متوسط العينة هو الذي يصبح كذلك، لا المشاهدات الفردية.
- هل العينة الأكبر أفضل دائمًا؟
- يتناقص الخطأ بنسبة √n فقط، والعينة المتحيزة تبقى متحيزة مهما كبرت.
تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26
المراجع
- Fischer, H. (2011). A History of the Central Limit Theorem. Springer.
- Laplace, P.-S. (1812). Théorie analytique des probabilités.
- Wasserman, L. (2004). All of Statistics. Springer.