内容
- 平面：ある直線に平行なすべての直線が二つの図形を等しい長さの線分で切るなら、二つの図形の面積は等しい。
- 空間：ある平面に平行なすべての平面が二つの立体を等しい面積の断面で切るなら、二つの立体の体積は等しい。
積み重ねた硬貨を斜めにずらしても体積は変わらないため、斜角柱や斜円柱の体積は、底面積と高さが等しい直角柱や直円柱の体積と同じです。
歴史
イタリアの数学者ボナヴェントゥーラ・カヴァリエリは『不可分者による連続体の新しい幾何学』（1635）で不可分者の方法を示し、図形を無限に多くの線や面からなるものとして扱いました。同様の考えはアルキメデスや5世紀中国の数学者祖暅にも見られます。この方法はニュートンとライプニッツの微積分につながりました。
球の体積
半径rの半球と、半径と高さがrの円柱から円錐を取り除いた立体を比べます。高さhでの断面積はどちらもπ(r²-h²)なので、半球の体積はπr³-πr³/3=2πr³/3、球の体積は4πr³/3となります。
積分との関係
今日では体積はV=∫A(x)dxと表されるため、断面積関数が等しければ体積も等しくなり、これによってこの原理は厳密に正当化されます。
参考文献
- Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
- Eves, H. (1991). Two surprising theorems on Cavalieri congruence. The College Mathematics Journal, 22(2), 118-124.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage.