게임과 역설
동전을 던져 처음 앞면이 n번째에 나오면 2ⁿ원을 받는 게임을 생각해 봐요. 1번째에 나올 확률 1/2로 2원, 2번째 1/4로 4원처럼 각 항의 기대값이 1원씩이고 이것이 끝없이 더해지므로 전체 기대값은 무한대예요. 그런데 실제로 이 게임에 큰돈을 내겠다는 사람은 거의 없어요. 니콜라우스 베르누이는 몽모르와의 서신에서 이 문제를 처음 제기했고, 다니엘 베르누이(1738)가 학술원 기관지에 해법을 발표하면서 도시 이름이 붙었어요. 조를랑(1987)과 마틴(2004)은 이후 200여 년의 논쟁사를 정리했어요.
베르누이의 해법과 기대효용이론
다니엘 베르누이(1738, 영역 1954)는 사람들이 금액 자체가 아니라 그 금액이 주는 '도덕적 기대', 즉 효용을 따진다고 보고, 부가 늘어날수록 추가 금액의 가치가 줄어드는 로그 효용을 제안했어요. 그러면 게임의 기대효용은 유한해지고 적은 참가비가 합리적이 돼요. 크라메르(1728)도 비슷한 착상을 서신으로 제시했어요. 멩거(1934)는 상금을 더 빠르게 키우면 로그 효용에서도 역설이 되살아나므로 효용이 위로 유계여야 한다고 지적했어요. 폰 노이만과 모르겐슈테른(1944)은 이 직관을 공리화해 기대효용이론을 세웠고, 애로(1974)는 유계 효용의 필요성을 논의했어요. 새뮤얼슨(1977)은 이 역설의 역사와 여러 해법을 종합했어요.
현대적 해석과 응용
현실적 해법으로는 상대방의 지불 능력이 유한하다는 점, 매우 작은 확률을 무시하는 경향 등이 거론돼요. 카너먼과 트버스키(1979)의 전망이론은 확률 가중과 가치 함수의 형태로 이를 설명하는 틀을 제공해요. 듀런드(1957)는 고성장 기업의 주가 평가가 먼 미래의 거대한 수익에 의존한다는 점에서 이 역설과 같은 구조를 지닌다고 지적했어요. 헤이든과 플랫(2009)은 실험에서 사람들이 평균보다 중앙값에 가까운 기준으로 게임을 평가한다고 보고했고, 피터스(2011)는 앙상블 평균 대신 시간 평균 성장률을 쓰면 효용 가정 없이도 역설이 풀린다고 주장했어요.
자주 묻는 질문
- 상트페테르부르크의 역설을 쉽게 설명하면?
- 계산상 기대 상금이 무한대인 동전 던지기 게임인데도 사람들은 참가비로 몇천 원 정도만 내려 한다는 모순이에요. 사람이 돈의 액수가 아니라 만족도를 기준으로 판단한다는 생각의 출발점이 됐어요.
- 베르누이의 해법으로 역설이 완전히 풀렸나요?
- 아니에요. 멩거는 상금 구조를 바꾸면 로그 효용으로도 역설이 다시 생긴다고 지적했고, 이후 유계 효용, 확률 가중, 시간 평균 등 여러 해법이 계속 제시되고 있어요.
출처 검토일: 2026-10-26
참고문헌
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