游戏与悖论
设想一个游戏：掷硬币时第一次出现正面在第n次，就获得2ⁿ元。第一次出现正面的概率为1/2、奖金2元，第二次为1/4、奖金4元，依此类推，每一项的期望值都是1元，无限相加，总期望值为无穷大。然而现实中几乎没人愿意为此付一大笔钱。尼古拉·伯努利在与蒙莫尔的通信中首次提出这一问题，丹尼尔·伯努利（1738）在科学院刊物上发表解法，悖论由此得名。若尔朗（1987）与马丁（2004）梳理了此后两百余年的争论史。
伯努利的解法与期望效用理论
丹尼尔·伯努利（1738，英译本1954）认为，人们看重的不是金额本身，而是金额带来的“道德期望”即效用，并提出对数效用：财富越多，新增金额的价值越小。这样游戏的期望效用变为有限，支付少量参与费便是理性的。克拉默（1728）在信中也提出过类似想法。门格尔（1934）指出，若让奖金增长得更快，即使采用对数效用悖论也会重现，因此效用必须有上界。冯·诺依曼与摩根斯坦（1944）将这一直觉公理化，建立了期望效用理论，阿罗（1974）讨论了有界效用的必要性。萨缪尔森（1977）综述了该悖论的历史与各种解法。
现代解释与应用
现实层面的解释包括付款方的支付能力有限、人们倾向于忽略极小概率等。卡尼曼与特沃斯基（1979）的前景理论通过概率权重和价值函数的形状为其提供了解释框架。杜兰德（1957）指出，高成长公司股票的估值依赖遥远未来的巨额收益，与该悖论结构相同。海登与普拉特（2009）报告，实验中人们对游戏的估价更接近中位数而非均值；彼得斯（2011）则主张，用时间平均增长率替代系综平均，无需效用假设即可化解悖论。
常见问题
- 如何简单理解圣彼得堡悖论？
- 一个掷硬币游戏按计算期望奖金是无穷大，人们却只愿意付几块钱参加。它成为“人们按满足感而非金额作判断”这一思想的起点。
- 伯努利的解法是否彻底解决了悖论？
- 没有。门格尔指出改变奖金结构后对数效用下悖论依然会出现，此后又有有界效用、概率权重、时间平均等多种解法被提出。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
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