问题结构与历史
这一悖论的原型是克赖奇克（1953）介绍的“领带悖论”：两人以各自领带的价格打赌时，双方都认为这场赌局对自己有利。加德纳（1982）使其广为人知，纳莱巴夫（1989）则在经济学期刊上介绍了如今的双信封形式。设我选的信封里有A元，另一个信封里应有A/2元或2A元，若各取概率1/2，期望值就是1.25A元。然而无论最初选了哪个信封，这一计算都同样适用，这与问题的对称性相矛盾。扎贝尔（1988）将其分析为对称性论证被误用时产生的问题。
期望值论证的缺陷与贝叶斯解法
许多学者指出，“无论A为何值，另一个信封是两倍的概率都是1/2”这一假设并不成立。要使它对所有金额都成立，金额的先验分布就必须在所有量级上均匀，而这样的正常概率分布并不存在。克里斯滕森与厄茨（1992）表明，设定恰当的先验分布并用贝叶斯定理计算后，交换是否有利取决于所观察到的金额，悖论随之消失。克拉克与沙克尔（2000），阿尔伯斯、科伊与斯哈普斯马（2005），以及卡茨与奥林（2007）从哲学角度分析了论证中的多处缺陷，包括让同一个字母A指代不同情形下不同金额的混淆。
无穷期望与随机交换
布鲁姆（1995）表明，即使使用恰当的先验分布，也能构造出无论看到什么金额交换都更有利的分布。这类分布的共同点是期望值为无穷大，因此与圣彼得堡悖论同根同源。查默斯（2002）称之为“圣彼得堡双信封悖论”，并表明在无穷期望下，期望效用最大化原则会与占优原则发生冲突。杰弗里（2004）从主观概率的角度讨论了这一问题。另一方面，科弗（1987）给出了一个惊人的结果：将打开信封所见金额与随机选取的阈值比较来决定是否交换，即使不知道先验分布，也能使拿到较大信封的概率高于1/2；麦克唐奈与阿博特（2009）对此作了细致分析。与蒙提霍尔问题一样，它是揭示直觉概率计算陷阱的经典案例。
常见问题
- 如何简单理解双信封问题？
- 一个信封里的钱是另一个的两倍，计算起来交换似乎总是划算，但交换后同样的计算又会得出应该换回去，于是陷入无休止交换的矛盾。
- 正确答案是换还是不换？
- 如果没有打开信封，两个信封是对称的，交换没有任何好处。悖论源于“另一个信封是两倍的概率总是1/2”这一错误假设；看到金额之后该如何判断，则取决于金额是如何确定的。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
- Kraitchik, M. (1953). Mathematical Recreations (2nd ed.). New York: Dover.
- Gardner, M. (1982). Aha! Gotcha: Paradoxes to Puzzle and Delight. New York: W. H. Freeman.
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- Nalebuff, B. (1989). Puzzles: The other person's envelope is always greener. Journal of Economic Perspectives, 3(1), 171–181.
- Christensen, R., & Utts, J. (1992). Bayesian resolution of the "exchange paradox". The American Statistician, 46(4), 274–276.
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- Clark, M., & Shackel, N. (2000). The two-envelope paradox. Mind, 109(435), 415–442.
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- Jeffrey, R. C. (2004). Subjective Probability: The Real Thing. Cambridge: Cambridge University Press.