التوزيع ذو الحدين

الشروط والصيغة

المحاولة التي لها نتيجتان فقط هي محاولة برنولي. فإذا (1) كان عدد المحاولات n ثابتًا، و(2) كانت المحاولات مستقلة، و(3) كان احتمال النجاح p ثابتًا، فإن عدد النجاحات X يتبع B(n, p).

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^n-k، حيث k = 0, 1, …, n

المتوسط والتباين ومثال

• المتوسط np، والتباين np(1-p)، والانحراف المعياري √(np(1-p)).
• مثال: إذا نجحت عملية جراحية بنسبة 80%، فإن احتمال نجاحها لدى 10 مرضى بالضبط من أصل 15 هو C(15,10)·0.8¹⁰·0.2⁵ ≈ 0.103، والعدد المتوقع 12.

التقريبات والاستخدامات

حين تكون n كبيرة ويكون كلٌّ من np وn(1-p) نحو 5 إلى 10 على الأقل، يقرّبه التوزيع الطبيعي N(np, np(1-p)). وحين تكون n كبيرة وp صغيرة يقرّبه توزيع بواسون بالمعامل λ = np. ويُستخدم في عدّ العيوب في ضبط الجودة، ونِسَب استطلاعات الرأي، وأعداد حالات نجاح العلاج، واختبارات النِّسَب.

المراجع

1. Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
2. Hogg, R. V., Tanis, E. A., & Zimmerman, D. L. (2019). Probability and Statistical Inference (10th ed.). Pearson.
3. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7th ed.). Wiley.
4. Bernoulli, J. (1713). Ars Conjectandi. Thurneysen.
5. Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Vol. 1, 3rd ed.). Wiley.