二項分布

条件と公式

結果が二つしかない試行をベルヌーイ試行といいます。(1) 試行回数nが固定され、(2) 試行が互いに独立で、(3) 成功確率pが一定であれば、成功回数XはB(n, p)に従います。

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^n-k、k = 0, 1, …, n

平均・分散と例

• 平均np、分散np(1-p)、標準偏差√(np(1-p))。
• 例：ある手術の成功率が80%のとき、患者15人中ちょうど10人が成功する確率はC(15,10)·0.8¹⁰·0.2⁵ ≈ 0.103で、期待値は12人である。

近似と用途

nが大きく、npとn(1-p)がいずれも約5～10以上であれば、正規分布N(np, np(1-p))で近似できます。nが大きくpが小さい場合は、λ = npのポアソン分布で近似できます。品質管理における不良品数、世論調査の比率、治療の成功数、比率の検定などに用いられます。

参考文献

1. Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
2. Hogg, R. V., Tanis, E. A., & Zimmerman, D. L. (2019). Probability and Statistical Inference (10th ed.). Pearson.
3. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7th ed.). Wiley.