二项分布

条件与公式

只有两种结果的试验称为伯努利试验。若（1）试验次数n固定，（2）各次试验相互独立，（3）成功概率p不变，则成功次数X服从B(n, p)。

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^n-k，k = 0, 1, …, n

均值、方差与示例

• 均值np，方差np(1-p)，标准差√(np(1-p))。
• 示例：若某手术成功率为80%，15名患者中恰有10人成功的概率为C(15,10)·0.8¹⁰·0.2⁵ ≈ 0.103；期望人数为12。

近似与应用

当n较大且np与n(1-p)都至少约为5到10时，可用正态分布N(np, np(1-p))近似；当n较大而p较小时，可用λ = np的泊松分布近似。它用于质量控制中的次品数、民意调查比例、治疗成功人数以及比例检验。

参考文献

1. Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
2. Hogg, R. V., Tanis, E. A., & Zimmerman, D. L. (2019). Probability and Statistical Inference (10th ed.). Pearson.
3. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7th ed.). Wiley.