定理の内容
投票ルールとは、各投票者が提出した選好順序を受け取って当選者を1人決める方式です。ある投票者が本当の選好を偽って投票することでよりよい結果を得られるなら、そのルールは「操作可能」であるといいます。ギバード（1973年）とサタースウェイト（1975年）は、選択肢が3つ以上あり、どの選択肢も当選しうるルールが操作不可能であるためには、1人の選好が常に結果を決める独裁でなければならないことを示しました。たとえば、相対多数制で当選の見込みが薄い候補を支持する有権者が、次善の有力候補に票を投じるのが戦略的投票の典型例です。ダメットとファーカーソン（1961年）はこうした操作可能性を早くから予想しており、ファーカーソン（1969年）は戦略的投票の理論を体系化しました。
アロー定理との関係
この定理はアローの不可能性定理と密接に結びついています。サタースウェイト（1975年）は耐戦略性の条件がアローの諸条件と対応することを示し、レニー（2001年）は2つの定理を1つの簡潔な議論でまとめて証明しました。アロー定理が個人の選好を社会的な順序へと一貫して集約する方法はないという結果であるのに対し、ギバード＝サタースウェイトの定理は正直な投票を常に最適にする公正な方法はないという結果です。ハーヴィッツ（1972年）が提起した誘因両立性の概念とともに、この定理はメカニズム・デザインの基本的な制約となりました。ダガンとシュワルツ（2000年）は、同点を許す場合や結果が集合になる場合へと定理を一般化しました。
例外と回避策
定理の仮定を緩めれば、操作不可能なルールが存在しえます。ムーラン（1980年）は、選好が単峰型であれば中位値を選ぶルールのような耐戦略的なルールがあることを示し、ギバード（1977年）は、確率を組み合わせたルールでも耐戦略的なものはランダム独裁のようなきわめて限られた形しかないことを証明しました。バルベラ（2011年）はこれらの結果を総合しています。コンピュータ科学では、バーソルディ、トーヴィー、トリック（1989年）が、操作は理論上可能でもその方法を見つける計算がきわめて難しいルールがあることを示し、ファリシェフスキーとヘマスパーンドラ夫妻（2010年）は、計算複雑性によって選挙を守る研究を概観しました。
よくある質問
- ギバード＝サタースウェイトの定理を簡単に言うと？
- 候補者が3人以上の選挙では、独裁でない限りどんな投票方式を使っても、誰かが本心とは違う投票をしたほうが得になる場面が生じるという定理です。
- アローの不可能性定理とは何が違いますか？
- アロー定理は個人の選好を一貫した社会的順位にまとめる問題を、ギバード＝サタースウェイトの定理は人々に正直に投票する誘因があるかどうかを扱います。2つの定理は数学的に密接に結びついています。
出典確認日：2026-10-26
参考文献
- Gibbard, A. (1973). Manipulation of voting schemes: A general result. Econometrica, 41(4), 587–601.
- Satterthwaite, M. A. (1975). Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions. Journal of Economic Theory, 10(2), 187–217.
- Arrow, K. J. (1951). Social Choice and Individual Values. New York: Wiley.
- Dummett, M., & Farquharson, R. (1961). Stability in voting. Econometrica, 29(1), 33–43.
- Farquharson, R. (1969). Theory of Voting. New Haven, CT: Yale University Press.
- Moulin, H. (1980). On strategy-proofness and single peakedness. Public Choice, 35(4), 437–455.
- Barberà, S. (2011). Strategyproof social choice. In K. J. Arrow, A. Sen, & K. Suzumura (Eds.), Handbook of Social Choice and Welfare (Vol. 2, pp. 731–831). Amsterdam: North-Holland.
- Bartholdi, J. J., Tovey, C. A., & Trick, M. A. (1989). The computational difficulty of manipulating an election. Social Choice and Welfare, 6(3), 227–241.
- Gibbard, A. (1977). Manipulation of schemes that mix voting with chance. Econometrica, 45(3), 665–681.
- Duggan, J., & Schwartz, T. (2000). Strategic manipulability without resoluteness or shared beliefs: Gibbard–Satterthwaite generalized. Social Choice and Welfare, 17(1), 85–93.
- Hurwicz, L. (1972). On informationally decentralized systems. In C. B. McGuire & R. Radner (Eds.), Decision and Organization (pp. 297–336). Amsterdam: North-Holland.
- Faliszewski, P., Hemaspaandra, E., & Hemaspaandra, L. A. (2010). Using complexity to protect elections. Communications of the ACM, 53(8), 74–82.
- Reny, P. J. (2001). Arrow's theorem and the Gibbard–Satterthwaite theorem: A unified approach. Economics Letters, 70(1), 99–105.