التوزيع التكراري والمدرّج التكراري

بناء الجدول التكراري

• إيجاد المدى: القيمة العظمى − القيمة الصغرى.
• اختيار عدد الفئات: عادةً من 5 إلى 20. واقترح ستيرجس (1926) k ≈ 1 + log₂n لعدد n من المشاهدات (نحو 8 حين n = 100).
• اختيار عرض الفئة: المدى ÷ عدد الفئات، مقرّبًا إلى أعلى قيمة مناسبة. ويجب ألّا تتداخل الفئات وأن تغطّي البيانات كلها (مثلًا: 60 فأكثر وأقل من 70).
• عدّ التكرارات: إحصاء المشاهدات في كل فئة وتسجيل مركز الفئة (منتصف الفترة).

التكرار النسبي والتجميعي

التكرار النسبي هو التكرار مقسومًا على العدد الكلّي للمشاهدات، ويُستخدم لمقارنة مجموعات مختلفة الحجم. والتكرار التجميعي يجمع التكرارات من الفئة الأولى حتى فئة معيّنة، ويتيح منحناه (المضلّع التجميعي) قراءة تقريبية للوسيط والمئينات.

المدرّج التكراري والمخطّط الشريطي

يمثّل المدرّج التكراري فترات من بيانات كمّية متّصلة، فتتلاصق أعمدته وتتناسب مساحة كل عمود مع التكرار (أو النسبة). وحين تختلف أعراض الفئات، ينبغي أن يُظهر المحور الرأسي الكثافة (التكرار النسبي ÷ عرض الفئة) لا التكرار. أما المخطّط الشريطي فيمثّل فئات بيانات نوعية، فتنفصل أعمدته ويمكن تغيير ترتيبها. ويُنسب مصطلح «هيستوغرام» إلى كارل بيرسون الذي استخدمه في محاضرة عام 1891.

قواعد اختيار عرض الفئة

قلّة الفئات تطمس ملامح التوزيع، وكثرتها تجعله مسنّنًا. وتفترض قاعدة ستيرجس بيانات قريبة من التوزيع الطبيعي، وتميل إلى إعطاء فئات قليلة جدًا للبيانات الكبيرة. واقترح سكوت (1979) عرضًا قائمًا على الانحراف المعياري (نحو 3.49·s·n^−1/3)، واقترح فريدمان ودياكونيس (1981) عرضًا قائمًا على المدى الربيعي (2·IQR·n^−1/3) أقل حساسية للقيم المتطرّفة.

قراءة الشكل

يُظهر المدرّج التكراري هل البيانات متناظرة أم ملتوية إلى اليمين (التواء موجب) أو اليسار (التواء سالب)، وهل لها قمّة واحدة أو أكثر، وهل فيها قيم متطرّفة. وفي التوزيعات الملتوية إلى اليمين، كالدخل، يكون الوسط الحسابي أكبر من الوسيط (انظر التدرّج الاجتماعي). وقد تبدو البيانات نفسها مختلفة بحسب عرض الفئة ونقطة البداية، فمن المفيد رسم المدرّج بأعراض متعدّدة. ويرتبط المدرّج التكراري بتوزيعات المعاينة في مبرهنة النهاية المركزية، ويسبق عادةً التحليل الاستدلالي كـتحليل الانحدار ضمن مناهج البحث الكمي، مع الانتباه إلى خطأ القياس وطريقة المعاينة.

تاريخ مراجعة المصادر: 2026-10-26

انظر أيضًا

• الانحراف المعياري
• التوزيع الطبيعي
• مناهج البحث الكمي

المراجع

1. Pearson, K. (1895). Contributions to the mathematical theory of evolution. II. Skew variation in homogeneous material. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, 343-414.
2. Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65-66.
3. Scott, D. W. (1979). On optimal and data-based histograms. Biometrika, 66(3), 605-610.
4. Freedman, D., & Diaconis, P. (1981). On the histogram as a density estimator: L₂ theory. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 57(4), 453-476.
5. Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley.
6. Wand, M. P. (1997). Data-based choice of histogram bin width. The American Statistician, 51(1), 59-64.
7. Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press.
8. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2017). Introduction to the Practice of Statistics (9th ed.). W. H. Freeman.