起源与基本原理
蒙特卡洛方法始于1946年：洛斯阿拉莫斯实验室的数学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆在养病时试图计算单人纸牌游戏的获胜概率。他想到，如果难以直接计算，不妨多玩几次并统计成功的比例。约翰·冯·诺依曼将这一思路用于中子扩散计算，尼古拉斯·梅特罗波利斯则以乌拉姆叔叔常去的赌场为其命名。第一篇论文由梅特罗波利斯与乌拉姆于1949年发表。经典示例是估算圆周率：在边长为1的正方形内随机撒点，落入四分之一圆内的比例乘以4便趋近π。样本越多平均值越接近真值，这要归功于大数定律。
精度与方差缩减
根据中心极限定理，蒙特卡洛估计的误差大致与样本量的平方根成反比。精度提高10倍需要100倍的样本，但这一收敛速度几乎与问题维度无关，因此在多变量的高维积分中优于基于网格的数值方法。为提高效率，人们使用重要性抽样、控制变量、分层抽样（与调查中的概率抽样原理相同）和拟蒙特卡洛等方差缩减技术。结果质量还取决于伪随机数生成器，松本真与西村拓士（1998）的梅森旋转算法被广泛采用。哈默斯利与汉兹科姆（1964）、罗伯特与卡塞拉（2004）以及欧文（2013）是代表性教材。
应用领域
梅特罗波利斯等（1953）的算法与黑斯廷斯（1970）的推广发展为MCMC，即利用马尔可夫链从复杂分布中抽样；自格尔芬德与史密斯（1990）以后，它成为贝叶斯统计的标准计算工具。埃夫隆（1979）的自助法通过重抽样评估估计量的不确定性，也属于蒙特卡洛方法。金融领域中，博伊尔（1977）将其引入期权定价，风险管理的情景分析亦广泛使用。物理学用它研究粒子输运与统计力学，计算机图形学用它进行路径追踪渲染。在人工智能中，源自科奇斯与塞派什瓦里（2006）UCT算法的蒙特卡洛树搜索，是西尔弗等（2016）AlphaGo的核心，也是人工智能搜索算法的重要分支。
常见问题
- 蒙特卡洛模拟总是准确的吗？
- 不是。其结果是概率性的近似值，误差取决于样本量、随机数质量与模型假设，因此通常会同时给出置信区间或标准误。
- 蒙特卡洛方法与MCMC有何区别？
- 普通蒙特卡洛直接抽取相互独立的样本，而MCMC针对难以直接抽样的分布，利用马尔可夫链依次生成相互依赖的样本。
来源核查日期：2026-10-26
参考文献
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