起源と基本原理
モンテカルロ法は1946年、ロスアラモス研究所の数学者スタニスワフ・ウラムが療養中にソリティアの成功確率を計算しようとして思いついたアイデアに始まります。直接計算するのが難しければ、何度も試して成功の割合を数えればよい、というわけです。ジョン・フォン・ノイマンがこれを中性子拡散の計算に応用し、ニコラス・メトロポリスがウラムの叔父がよく通ったカジノにちなんで「モンテカルロ」と名付けました。最初の論文はメトロポリスとウラム（1949年）です。原理を示す古典的な例が円周率の推定で、一辺1の正方形にランダムに点を打ち、四分円の中に入った割合に4を掛けるとπに近づきます。標本が増えるほど平均が真の値に近づくのは大数の法則のおかげです。
精度と分散減少
中心極限定理により、モンテカルロ推定の誤差はおおよそ標本数の平方根に反比例して小さくなります。精度を10倍にするには標本が100倍必要ですが、この速さは問題の次元にほとんど依存しないため、変数の多い高次元積分では格子に基づく数値解析より有利です。効率を上げるため、重点サンプリング、制御変量、層化サンプリング（調査の確率標本抽出と同じ原理）、準モンテカルロ法などの分散減少法が使われます。結果の質は疑似乱数生成器にも左右され、松本眞と西村拓士（1998年）のメルセンヌ・ツイスタが広く使われています。ハマーズレーとハンズコム（1964年）、ロバートとカセラ（2004年）、オーウェン（2013年）が代表的な教科書です。
応用分野
メトロポリスら（1953年）のアルゴリズムとヘイスティングス（1970年）の一般化は、マルコフ連鎖を使って複雑な分布から標本を得るMCMCへと発展し、ゲルファンドとスミス（1990年）以降はベイズ統計の標準的な計算手段になりました。エフロン（1979年）のブートストラップも、データを再抽出して推定値の不確実性を評価するモンテカルロ的手法です。金融ではボイル（1977年）がオプション価格の計算に導入し、リスク管理のシナリオ分析にも使われます。物理学の粒子輸送や統計力学、コンピュータグラフィックスのパストレーシングにも用いられます。人工知能では、コチシュとセペシュヴァーリ（2006年）のUCTアルゴリズムに始まるモンテカルロ木探索が、シルバーら（2016年）のAlphaGoの中核となりました。これは人工知能の探索アルゴリズムの重要な系統です。
よくある質問
- モンテカルロ・シミュレーションは常に正確ですか？
- いいえ。結果は確率的な近似値であり、標本数、乱数の質、モデルの仮定によって誤差が生じます。そのため通常は信頼区間や標準誤差を併せて示します。
- モンテカルロ法とMCMCはどう違いますか？
- 通常のモンテカルロ法は互いに独立な標本を直接抽出しますが、MCMCは直接抽出が難しい分布からマルコフ連鎖を使って互いに依存する標本を順に生成します。
出典確認日：2026-10-26
参考文献
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